Question

已知函数，定义域为（-1，1）
（1）求的值．
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．

Answer 1

解：（1）∵函数，定义域为（-1，1）；
∴任取x∈（-1，1），有f（-x）=x+log₂=-（-x+log₂）=-f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数；
∴=f（）-f（）=0；
（2）f（x）是定义域上（-1，1）的减函数，证明如下：
∵f（x）是定义域上（-1，1）的奇函数，
∴任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+log₂）-（-x₂+log₂）=（x₂-x₁）+log₂（•）=（x₂-x₁）+log₂；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，＞1，即log₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以，f（x）是定义域上（-1，1）的减函数．
分析：（1）先证明函数f（x）是定义域上的奇函数，再计算的值；
（2）由函数的单调性定义证明f（x）是定义域上的增减性，步骤是一取值，二作差，三判正负，四下结论．
点评：本题考查了函数的奇偶性的应用与单调性的证明，是一个容易出错的题目．