Question

若函数f(x)=

2x，x＜0 -2-x，x＞0

，则函数y=f（f（x））的值域是

 

．

Answer 1

分析：讨论x的正负，代入相应的解析式，然后求出函数f（x）的值域，再代入相应的解析式，求出y=f（f（x））的值域，即可求出所求．

解答：解：设x＜0，则f（x）=2^x∈（0，1）
∴y=f（f（x））=f（2^x）
当x∈（0，1）时f（x）=-2^-x∈（-1，-

1

2

）
设x＞0，则f（x）=-2^-x∈（-1，0）
∴y=f（f（x））=f（-2^-x）
当x∈（-1，0）时f（x）=2^x∈（

1

2

，1）
综上所述：y=f（f（x））的值域是(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)
故答案为：(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)

点评：本题主要考查了指数函数的值域，以及复合函数的值域问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．