Question

如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．
（1）求证：AP是圆O的切线；
（2）若圆O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．

Answer 1

分析：（1）由题意可知AE⊥BC且BE=CE，得出AE经过圆心O，只要证明AP⊥AE即可；
（2）可通过△APO∽△EBO及勾股定理求出AP的长．

解答：证明：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，
∵AB=AC，
∴AE平分BC，
∴点O在AE上．（2分）
又∵AP∥BC，
∴AE⊥AP，
∴AP为圆O的切线．（4分）
解：（2）∵BE=

1

2

BC=4，
∴OE=

OB2-BE2

=3，
又∵∠AOP=∠BOE，∠P=∠OBE
∴△OBE∽△OPA，（6分）
∴

BE

AP

=

OE

OA

．
即

4

AP

=

3

5

．
∴AP=

20

3

．（8分）

点评：本题考查了与圆有关的比例线段、切线的判定，先要证明AE经过圆心，再证明垂直即可．求AP的长，注意与已知线段相关的三角形联系，找准相似三角形．