Question

11．已知函数f（x）=|x+1|-a|x-1|．
（1）当a=-2时，解不等式f（x）＞5；
（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，根据否定即可解不等式f（x）＞5，
（2）利用参数分离法，转化为求值函数的最值问题．

解答 解：（1）当a=-2时，f（x）=|x+1|+2|x-1|，
则不等式f（x）＞5等价为|x+1|+2|x-1|＞5；
若x≥1，则不等式等价为x+1+2（x-1）＞5，即3x＞6，得x＞2，此时x＞2，
若-1＜x＜1，则不等式等价为x+1-2（x-1）＞5，即-x＞2，得x＜-2，此时-1＜x＜1，
若x≤-1，则不等式等价为-（x+1）-2（x-1）＞5，即-3x＞4，得x＜-$\frac{4}{3}$，此时x＜-$\frac{4}{3}$，
综上不等式的解为x＞2或-1＜x＜1或x＜-$\frac{4}{3}$，
即不等式的解集为{x|x＞2或-1＜x＜1或x＜-$\frac{4}{3}$}．
（2）若f（x）≤a|x+3|，
则|x+1|-a|x-1|≤a|x+3|，
即|x+1|≤a（|x-1|+|x+3|），
即a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|
∴$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$$≤\frac{|x+1|}{2|x+1|}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当x≥1或x≤-3时，取等号，
即a≥$\frac{1}{2}$，
则a的取值范围a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据绝对值不等式的性质将函数表示成分段函数形式是解决本题的关键．考查学生的转化能力．