Question

学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中随机选出3人．记X为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（X≥1）=

8

15

．
（Ⅰ）求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数；
（Ⅱ）求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n，则文娱队共有12-n个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为12-2n人． 由 P(X≥1)=

8

15

，可得 P(X=0)=

7

15

，即

C 3 12-2n

C 3 12-n

=

7

15

，再由12-2n≥3，且n是整数，求得n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人，设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A，
根据P(A)=

C 1 3 C 2 7 + C 1 2 C 2 5 + C 2 2 C 1 5

C 3 10

，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n，则文娱队共有12-n个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为12-2n人．  …（2分）
由 P(X≥1)=

8

15

，得 1-P(X=0)=

8

15

，所以 P(X=0)=

7

15

．    …（4分）
所以 

C 3 12-2n

C 3 12-n

=

7

15

，…（6分）
即 

(12-2n)(11-2n)(10-2n)

(12-n)(11-n)(10-n)

=

7

15

．
注意到12-2n≥3，且n是整数，从而n=0，1，2，3，4．
将n的这5个值代入上式检验，得n=2符合题意，所以学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的有2人．   …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人．     …（9分）
设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A，…（10分）
所以，P(A)=

C 1 3 C 2 7 + C 1 2 C 2 5 + C 2 2 C 1 5

C 3 10

=

11

15

． …（13分）

点评：本题主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．