Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是BB₁上的点.

(Ⅰ)试确定E的位置，使AE⊥平面A₁D₁E；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角E-AD₁-A的大小；(用反三角函数表示)

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，求A到平面C₁D₁E的距离.

Answer 1

解：(Ⅰ)在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,A₁D₁⊥面ABB₁A₁

∴A₁D₁⊥AE,要AE⊥平面A₁D₁E,只要AE⊥A₁E

又AB=1,BB₁=2,设BE=t

故=A₁E²+AE²4=1+t²+1+(2-t)²当t=1

故E为BB₁的中点 

另法：向量法可参照记分

(Ⅱ)取AA₁中点O,连OE,则OE⊥AA₁又OE⊥A₁D₁,于是,OE⊥平面AOD₁A₁过O作OF⊥AD₁于F,连EF、则AD₁⊥EF

∴∠EFO为二面角E-AD₁-A₁的平面角 

在△AOF中,OF=OA·sin∠OAF=∴tan∠EFO=

∴故二面角E-AD₁-A₁的大小为arctan

另法：向量法可参照记分

(Ⅲ)∵AB∥C₁D₁  ∴AB∥平面C₁D₁E

∴A到平面C₁D₁E的距离等于B点到平面C₁D₁E的距离而平面C₁D₁E⊥平面BC₁,延长C₁E与CB的延长线交于N,则平面C₁D₁E与平面BCC₁E垂直,过B作BM⊥C₁N于M,则BM⊥平面C₁D₁E,BM的长就是B点到平面C₁D₁E的距离   

故EN·BM=BE·BN××BM=×1×1∴BM=    

另法：用等积法、向量法可参照记分