Question

（本小题满分13分）

如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．又已知该双曲线的离心率．

（1）求证：，，依次成等差数列；

（2）若F(，0)，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度．

Answer 1

解：（1）由已知e²＝，即＝，故a²＝c²，           ①

从而b²＝c²－a²＝c²，                                               ②

故＝＝，设∠AOF＝∠BOF＝，＝．

故tan∠AOB＝tan2＝＝，即＝．

令＝3m(m＞0) ，则＝4m，＝5m，满足＋＝2，

所以，，，依次成等差数列．

（2）由已知c²＝5，代入①，②得a²＝4， b²＝1，

于是双曲线的方程为．

设直线AB的斜率为k，则k＝tan∠BFx＝tan∠AFO＝cot＝2．

于是直线AB的议程为 y＝2(x－)．…………………………………………9分

联立 消y得15x²－x＋84＝0．

故弦CD的长度 | CD |＝＝×＝…13分