Question

设，证明：
(Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ）；
(Ⅱ)当时，。

Answer 1

见解析

(Ⅰ)证法一：记，
则当x>1时，.
又有, 即
证法二：由均值不等式，当x>1时，，故 ①
令，则，.
故，即   ②
由①②得，当x>1时，.
(Ⅱ)（证法一）
记，
由(Ⅰ)得

令，
则当1<x<3时，
因此在（1,3）内是递减函数，
又由，得，
所以
因此在（1,3）内是递减函数，
又由，得.
于是，当1<x<3时，
（证法二）：
记
则当1<x<3时，由(Ⅰ)得




因此在(1,3)内单调递减
又，所以即.
考点定位：本大题考查导数题目中较为常规的类型题目，考查的切线，单调性，以及最值问题都是课本中要求的重点内容，考查构造函数用求导的方法求最值的能力