Question

函数f(x)=

19

n=1

|x-n|的最小值为（　　）

• A、190
• B、171
• C、90
• D、45

Answer 1

分析：利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．

解答：解法一：f（x）=

19

n=1

|x-n|=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，
可知x在1-19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，
故选C．
解法二：|x-1|+|x-19|≥18，当1≤x≤19时取等号；
|x-2|+|x-18|≥16，当2≤x≤18时取等号；
|x-3|+|x-17|≥14，当3≤x≤17时取等号；
…
|x-9|+|x-11|≥2，当9≤x≤11时取等号；
|x-10|≥0，当x=10时取等号；
将上述所有不等式累加得|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）
故选C．

点评：本题主要考查求和符号的意义和绝对值的几何意义，难度较大，且求和符号不在高中要求范围内，只在线性回归中简单提到过．