Question

5．函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域是[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，所以f（x）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，从而求函数的值域．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，t²=1+2sinxcosx，
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴f（x）=sinxcosx+sinx+cosx
=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
∴-1≤（t+1）²-1≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$；
即函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
故答案为[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了换元法与配方法求函数的值域，属于基础题．