Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，$A{A_1}=\sqrt{3}$．M，N分别为BC和AA₁的中点，P为侧棱BB₁上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若P为线段BB₁的中点，求证：CN∥平面AMP；
（Ⅲ）试判断直线BC₁与PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AM⊥BC，BB₁⊥AM，从而AM⊥平面BB₁C₁C，由此能证明平面AMP⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）连结BN，交AP于Q，连结MQ，NP．推导出四边形ANPB为平行四边形，从而CN∥MQ，由此能证明CN∥平面AMP．
（Ⅲ） 假设直线BC₁与直线PA能够垂直，设PB=x，$x∈[0，\sqrt{3}]$．推导出$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}∉[0，\sqrt{3}]$．从而得到直线BC₁与直线PA不可能垂直．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，
所以AM⊥BC．…（1分）
又因为BB₁∥AA₁，且AA₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥底面ABC．所以BB₁⊥AM，…（3分）
所以AM⊥平面BB₁C₁C．
所以平面AMP⊥平面BB₁C₁C．…（5分）
（Ⅱ）连结BN，交AP于Q，连结MQ，NP．
因为N，P分别为AA₁，BB₁中点，所以AN∥BP，且AN=BP．
所以四边形ANPB为平行四边形，…（7分）
Q为BN中点，所以MQ为△CBN的中位线，
所以CN∥MQ．…（8分）
又CN?平面AMP，MQ?平面AMP，所以CN∥平面AMP．…（9分）
解：（Ⅲ） 假设直线BC₁与直线PA能够垂直，
又因为AM⊥BC₁，
所以BC₁⊥平面APM，所以BC₁⊥PM．…（10分）
设PB=x，$x∈[0，\sqrt{3}]$．当BC₁⊥PM时，∠BPM=∠B₁C₁B，
所以Rt△PBM∽Rt△B₁C₁B，所以$\frac{PB}{MB}=\frac{{{C_1}{B_1}}}{{B{B_1}}}$．…（12分）
因为$MB=\sqrt{2}，{C_1}{B_1}=2\sqrt{2}，B{B_1}=\sqrt{3}$，所以$\frac{x}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，解得$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}∉[0，\sqrt{3}]$．…（13分）
因此直线BC₁与直线PA不可能垂直．…（14分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．