Question

如图，在五棱锥P-ABCD中PA 丄平面ABCDE，PA=AB=AE=2BC=2DE=2，∠DEA=∠EAB=∠ABC=90°
（1）求二面角P-DE-A的大小
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）易证∠APE为二面角P-DE-A的平面角，在直角三角形PAE中，求出此角即可；
（2）过C作CF∥AB交AE与F，易知点C到平面PDE的距离等于点F到平面PDE的距离，过F作FH⊥PE于H，则FH⊥平面PDE
求出FH与PC，从而求出直线PC与平面PDE所成角的正弦值．

解答：解：（1）PA⊥平面ABCDE，∠DEA=90°即AE⊥ED
∴PE⊥ED，故∠APE为二面角P-DE-A的平面角
在直角三角形PAE中，由于PA=AE
因此∠APE=45°即二面角P-DE-A的大小45°
（2）过C作CF∥AB交AE与F，又由∠DEA=∠EAB=90°
得AB∥DE，∴CF∥DE
∴CF∥平面PDE
故点C到平面PDE的距离等于点F到平面PDE的距离
由（1）可得DE⊥平面PAE，∴平面PDE⊥平面PAE
过F作FH⊥PE于H，则FH⊥平面PDE
则FH=EFsin45°=

2

2

，又PC=

AC2+PA2

=3
设直线PC与平面PDE所成角为α，则sinα=

FH

PC

=

2

6

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角以及二面角的平面角及求法，求出线面所成角的关键是寻找所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．