Question

（文）已知复数z=

5

2

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=

3 2

4

．
（1）求证：tgA•tgB=

1

9

；
（2）若|AB|=6，当∠C最大时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据|z|²=

9

8

，利用两角和差的三角函数化简可得9sinA•sinB=cosA•cosB，从而得到tgA•tgB=

1

9

．
（2）由（1）可得 tgC=-tg(A+B)=-

9

8

(tgA+tgB)，利用基本不等式可得tgC≤-

3

4

，求出tgC取最大值时△ABC
底边上的高h=

1

2

|AB|•tgA=1，从而求得S_△ABC 的值．

解答：解：（1）由题意可得 |z|2=[

5

2

sin

A+B

2

]2+[cos

A-B

2

]2=[

3 3

4

]2，…（2分）
∴

5

4

•

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

8

，4cos（A-B）=5cos（A+B），9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴tgA•tgB=

1

9

． …（6分）
（2）tgC=-tg(A+B)=-

9

8

(tgA+tgB)≤-

9

4

tgA•tgB

=-

3

4

，
当且仅当tgA=tgB=

1

3

时，tgC最大，即∠C最大…（9分）
此时△ABC是等腰三角形，且底边上的高h=

1

2

|AB|•tgA=1，
则S_△ABC=3．…（12分）

点评：本题考查两角和差的三角函数，求复数的模的方法，基本不等式的应用，求出tgC的最大值，是解题的难点．