Question

（2013•日照一模）若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如数列c_n：若cn=

4n-1，当n为奇数时 4n+9，当n为偶数时

，则数列{c_n}是公差为8的准等差数列．设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．
（Ⅰ）求证：{a_n}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{a_n}的通项公式及前20项和S₂₀．

Answer 1

分析：（I）由已知数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），两式相减可得a_n+2-a_n=2．即可得到数列{a_n}是公差为2的准等差数列．
（II）利用已知a_n+a_n+1=2n，即可得出S₂₀=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₁₉+a₂₀）=2（1+3+…+19），再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（I）∵数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，∴a_n+1+a_n+2=2（n+1），
∴a_n+2-a_n=2．
∴数列{a_n}是公差为2的准等差数列．
（II）∵a_n+a_n+1=2n，
∴S₂₀=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₁₉+a₂₀）
=2（1+3+…+19）
=2×

10×(1+19)

2

=200．

点评：正确理解准等差数列的定义和熟练掌握等差数列的前n项和公式是解题的关键．