Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，首项为2，且2，a_n，S_n成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

an

an-1

=2，从而数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n，从而b_n=n，cn=

n

2n

，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知2a_n=S_n+2，a_n＞0，a₁=2，（1分）
当n≥2时，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1
整理得：

an

an-1

=2，（4分）
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an=a1•2n-1=2×2^n-1=2ⁿ．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n，∴b_n=n，cn=

n

2n

，（7分）
T_n=

1

2

+

2

4

+

3

8

+…+

n

2n

，…①

1

2

Tn=

1

4

+

2

8

+

3

16

+…+

n

2n+1

，…②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，（10分）
∴

1

2

Tn=1-

1

2n

-

n

2n+1

，（11分）
∴T_n=2-

2+n

2n

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．