Question

三条直线l₁：2x-y-10=0，l₂：4x+3y-10=0，l₃：ax+2y-8=0
（1）求l₁与l₂的夹角大小．（用反三角函数表示）
（2）若三条直线l₁，l₂，l₃不能围成一个三角形，求a的所有可能值．

Answer 1

考点：两直线的夹角与到角问题,直线的一般式方程

专题：

分析：（1）由夹角公式可得tanθ=|

2-(- 4 3 )

1+2×(- 4 3 )

|=2，由反三角函数可得；
（2）直线平行和直线共点即是不能围成三角形的情形．

解答： 解：（1）设l₁与l₂的夹角为θ，
∵l₁：2x-y-10=0，l₂：4x+3y-10=0，
∴两直线的斜率分别为2和-

4

3

，
∴由夹角公式可得tanθ=|

2-(- 4 3 )

1+2×(- 4 3 )

|=2，
∴l₁与l₂的夹角为arctan2；
（2）当l₁与l₃的平行（或重合）时可得-a-2×2=0，解得a=-4；
当l₂与l₃的平行（或重合）时可得3a-4×2=0，解得a=

8

3

；
当l₁与l₂与l₃三线共点时，联立

2x-y-10=0 4x+3y-10=0

可解得

x=4 y=-2

，
代入l₃的方程可得4a-4-8=0，解得a=3，
综上可得：a=-4或a=

8

3

或a=3

点评：本题考查两直线的夹角问题，涉及直线平行关系的判断，属基础题．