Question

已知圆P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r≠0），满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a²-b²-2b+4取得最小值时圆的方程．

Answer 1

解：如下图所示，圆心坐标为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
∵圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，
∴∠APB=90°．
取AB的中点D，连接PD，
则有|PB|=|PD|，∴r=|b|．
取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE．
∵圆截y轴所得弦长为2，
∴|EC|=1，∴1+a²=r²，
即2b²-a²=1．
则a²-b²-2b+4=b²-2b+3=（b-1）²+2．
∴当b=1时，a²-b²-2b+4取得最小值2，
此时a=1，或a=-1，r²=2．
对应的圆为：（x-1）²+（y-1）²=2，
或（x+1）²+（y-1）²=2．
∴使代数式a²-b²-2b+4取得最小值时，对应的圆为
（x-1）²+（y-1）²=2，或（x+1）²+（y-1）²=2．
分析：设出圆心坐标为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．利用弧长的比，求出∠APB．取AB的中点D，连接PD，取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE．通过1+a²=r²，求解a²-b²-2b+4取得最小值，求出对应的圆的方程．
点评：本题考查当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r，其中d为圆心到直线的距离．是解题的关键．当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有（）²+d²=r²．这是必须掌握的知识点．