[题目]已知a和b是任意非零实数．(1)求的最小值．(2)若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|恒成立.求实数x的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知a和b是任意非零实数．
（1）求的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．

【答案】
（1）解：∵ ≥ = =4，

故的最小值为4

（2）解：若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，

即|2+x|+|2﹣x|≤ 恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值

由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，

∴ 的最小值等于4．

∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．

解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]

【解析】（1）利用绝对值不等式的性质可得 ≥ = =4．（2）由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤ 恒成立，由于的最小值为4，故有x的

范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x的取值范围．

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