Question

12．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对于任意x＞0满足f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，试求解不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）由f（6）=1，f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y），可求得f（36）=2，依题意，可将不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2转化为f[x（x+5）]＜f（36），再利用函数的单调性即可求得不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2的解集．

解答 解：（1）∵对于任意x＞0满足f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y），
令x=y=1，得：f（1）=0；
（2）若f（6）=1，则f（$\frac{36}{6}$）=f（36）-f（6），即f（36）=2f（6）=2，
∴f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2?f[x（x+5）]＜f（36），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+5＞0}\\{x＞0}\\{x（x+5）＜36}\end{array}\right.$，解得：0＜x＜4．
∴不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2的解集为{x|0＜x＜4}．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法与解不等式的能力，属于中档题．