Question

已知方程①：ax²+bx+c=0，（其中c≠0）有整数根，是否存在整数P，使得方程②：x³+（x+P）x²+（b+P）x+c=0与方程①有相同的整数根？如果这样的P存在，请求出所有这样的整数P和相应的公共整数根；如果这样的P不存在，请说明你的理由．

Answer 1

解：x³+（a+P）x²+（b+P）x+c=0
则x³+Px²+Px+ax²+bx+c=0而ax²+bx+c=0
∴x³+Px²+Px=0则方程必有一个根为0，而ax²+bx+c=0，（其中c≠0）无0根
∴x²+Px+P=0与ax²+bx+c=0有相同的整数根
而方程x²+Px+P=0的根为，要使为整数，则为整数
从而P=0或4，而P=0时方程x³+（a+P）x²+（b+P）x+c=0的根为0，而ax²+bx+c=0，（其中c≠0）无0根，不合题意
∴P=4，此时方程x²+Px+P=0的根为-2
分析：先根据已知条件将原题转化成x²+Px+P=0与ax²+bx+c=0有相同的整数根，然后利用求根公式求出方程x²+Px+P=0的根，根据为整数则P=0或4，讨论可求出满足条件的P，从而求出公共整数根．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及整数解问题，同时考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．