Question

过△ABC内部一点M任作一条直线EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有

AD

+

BE

+

CF

=

0

，则点M是△ABC的（　　）

A．三条高的交点

B．三条中线的交点

C．三边中垂线的交点

D．三内角平分线的交点

Answer 1

分析：设EF交AB，AC于G，H两点，因为要使

AD

+

BE

+

CF

=0，只需要

BE

DA

+

CF

DA

=1（*），设

AH

=λ

AC

，

AG

=μ

AB

，
所以（*）化为

1-λ

λ

+

1-μ

μ

=1（**），只要（**）成立，这样的M就满足条件．由此入手能够选出正确答案．

解答：解：设EF交AB，AC于G，H两点，
因为要使

AD

+

BE

+

CF

=0，
只需要

BE

DA

+

CF

DA

=1（*），
设

AH

=λ

AC

，

AG

=μ

AB

，
所以（*）化为

1-λ

λ

+

1-μ

μ

=1（**），
只要（**）成立，
这样的M就满足条件．
因为M在EF上，
所以

AM

=t

AG

+（1-t）

AH

=tλ

AB

+（1-t）μ

AC

，
当M是三条中线的交点，
所以tλ=

1

3

，（1-t）μ=

1

3

，

1

λ

=3t，

1

μ

=3-3t，
容易验证此时（**）成立，
所以M是三条中线的交点时，可以满足题目条件．
故选B．

点评：本题考查三角形的五心的应用，解题时要认真审题，注意向量的灵活运用．