Question

已知两条直线l₁（3+m）x+4y=5-3m，l₂ 2x+（5+m）y=8．当m分别为何值时，l₁与l₂：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？

Answer 1

分析：（1）利用直线不平行，直线即可相交，推出m的范围．
（2）通过直线的斜率相等，截距不相等，判断直线平行，求出m的值．
（3）当两条直线的斜率乘积是-1时，两条直线垂直，求出1的值．

解答：解：当m=-5时，显然l₁与l₂相交；当m≠-5时，易得两直线l₁和l₂的斜率分别为
k₁=-

3+m

4

，k₂=-

2

5+m

，它们在y轴上的截距分别为b₁=

5-3m

4

，b₂=

8

5+m

．
（1）由k₁≠k₂，得-

3+m

4

≠-

2

5+m

，m≠-7且m≠-1．
∴当m≠-7且m≠-1时，l₁与l₂相交．
（2）由

k1=k2 b1≠b2

，得

- 3+m 4 =- 2 5+m 5-3m 4 ≠ 8 5+m

解得m=-7．∴当m=-7时，l₁与l₂平行．
（3）由k₁k₂=-1，得-

3+m

4

•（-

2

5+m

）=-1，解得m=-

13

3

．∴当m=-

13

3

时，l₁与l₂垂直．

点评：此题为中档题，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此题时直线的斜率是否存在，分情况讨论得到所求的范围．