Question

已知函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）f（n），f（1）=3，则

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

的值等于

 

．（用含n的式子表示）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：结果是一个数列求和，应从通项入手分析，由f（m+n）=f（m）f（n），f（1）=3，得f（n）=3ⁿ，而

f2(n)+f2(n)

f(n)f(n-1)

=

2f(n)

f(n-1)

=2×3=6，则结果可求．

解答： 解：因为f（m+n）=f（m）f（n），f（1）=3，所以f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=f²（1）=3²，f（3）=f（2+1）=f（2）f（1）=3²×3=3³
…，以此类推得f（n）=3ⁿ，而

f2(n)+f2(n)

f(n)f(n-1)

=

2f(n)

f(n-1)

=2×3=6，所以原式

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

=6n．
故答案为6n．

点评：本题考查了抽象函数的条件下的归纳推理问题，一般是从通项入手加以分析．