Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈（0，π），求

OB

与

OC

夹角的大小；
（2）若(

OA

+2

OB

)⊥

OC

，求cos2α．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

OA

，

OB

，

OC

的坐标，进而可得

OA

+

OC

的坐标，由已知和向量的模长公式可解得cosα，可得

OB

•

OC

的值，代入夹角公式可得夹角的余弦值，可得夹角；
（2）由（1）可得

OA

+2

OB

，由向量垂直可得(

OA

+2

OB

)•

OC

=0，代入数据计算可得tanα的值，由三角函数的知识可得cos2α=

1-tan2α

1+tan2α

，代入运算可得．

解答：解：（1）由题意可得

OA

=（3，0），

OB

=（0，3），

OC

=（cosα，sinα），
∴

OA

+

OC

=（3+cosα，sinα），
∴|

OA

+

OC

|=

(3+cosα)2+sin2α

=

10+6cosα

=

13

，
解得cosα=

1

2

，又∵α∈（0，π），∴α=

π

3

，
∴

OC

=（

1

2

，

3

2

），

OB

•

OC

=

3 3

2

，
∴cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB || OC |

=

3

2

，
又＜

OB

，

OC

＞∈[0，π]，
∴

OB

与

OC

夹角为

π

6

；
（2）由（1）可得

OA

+2

OB

=（3，6），
由(

OA

+2

OB

)⊥

OC

可得(

OA

+2

OB

)•

OC

=0，
代入数据可得3cosα+6sinα=0，解得tanα=-

1

2

∴cos2α=cos²α-sin²α=

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

1-tan2α

1+tan2α

=

1-(- 1 2 )2

1+(- 1 2 )2

=

3

5

点评：本题考查数量积与向量夹角的关系，涉及三角函数的运算，属中档题．