Question

设函数f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），则使得f（x）=f（2014）的最小的正实数x的值为（　　）

• A、173
• B、416
• C、556
• D、589

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：实际上，此题类似于“周期函数”，只是这个“周期”是每次三倍增大变化的，要求其解析式，只需将x化归到[1，3]上即可．而与f（2014）相等的也不止一个，为此我们只需找到相应的那个区间即可求出来．

解答： 解：因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），
所以f（x）=3f（

x

3

），
所以f（2014）=3f（

2014

3

）=3²f（

2014

32

）=…=3nf(

2014

3n

)，
当n=6时，

2014

36

∈[1，3]，
所以f（2014）=36[1-

2014

36

+2]=3⁷-2014=173，
同理f（x）=3ⁿf（

x

3n

）=

3n[1-( x 3n -2)]，2≤ x 3n ≤3 3n[1+( x 3n -2)]，1≤ x 3n ＜2

=

3n+1-x，2≤ x 3n ≤3 x-3n，1≤ x 3n ＜2

，（n∈N^*）
当

3n+1-x=173 2≤ x 3n ≤3

时，x=3ⁿ⁺¹-173，n=6时，找的第一个符合前面条件的x=556；当

x-3n=173 1≤ x 3n ＜2

时，x=3ⁿ+173，当n=5时找到最小的x=416符合前面条件．
综上，当x=416时满足题意．
故选B．

点评：本题应属于选择题中的压轴题，对学生的能力要求较高，解决问题的关键在于如何将f（2014）转化到[1，3]上求出它的函数值，二是如何利用方程思想构造方程，按要求求出x的值．