精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[
1e
,e])
的值域.
分析:(1)根据已知中f(x)=-ax+b+axlnx,求出f(e)=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)求出导数f'(x)=alnx,利用导数与单调性的关系,分a>0,a<0两种情形求解.
(3)当a=1时,f′(x)=ln,,求出导函数零点后,利用零点分段法,分类讨论后,即可得到函数f(x)的值域.
解答:解:(1)由f(e)=-ae+b+aelne=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx.从而f′(x)=alnx.因为a≠0,故:
①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得0<x<1; 
②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1.
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx.
由(2)可得,当x在区间内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
1
e
1
e
,  1
1 (1,e) e
f′(x)   - 0 +  
f(x) 2-
2
e
单调递减 极小值1 单调递增 2
又2-
1
e
<2,所以函数f(x)(x∈)的值域为[1,2].
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题,属于中档、常规题.在(2)中涉及到了分类讨论的思想方法.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数数学公式的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[
1
e
,e])
的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西省吉安市安福中学高三(上)第三次段考数学试卷 (理科)(解析版) 题型:解答题

(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年河北省保定二中高三第三次大考数学试卷(文理合卷)(解析版) 题型:解答题

(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数的值域.

查看答案和解析>>

同步练习册答案