定义在R上的函数f (x)满足:如果对任意x1,x2R,都有
,则称函数f (x)是R上的凹函数.已知二次函数
.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)当时,试判断函数f (x)是否为凹函数,并说明理由;
(2)如果函数f (x)对任意的x[0,1]时,都有
,试求实数a的范围。
解析:(1)a=1时,函数f (x)是凹函数。
此时 ,
= (
)2 + (
),
[f (x1) + f (x2)] =
[x
+ x1 + x
+ x2],
作差得到: 2
[f (x1) + f (x2)]
= ()2 + (
)
(x
+ x
)
(x1 + x2) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
=
= =
0,
即有[f (x1) + f (x2)],
故知函数为凹函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)由
则有
i)若x = 0时,则aR恒成立.
ii)若x时,有
.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴当= 1时,[ (
+
)2 +
]max = 2,所以
,
[ ()2
]min = 0,所以
.
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π |
2 |
π |
3 |
x0 |
2 |
3 |
2 |
π |
2 |
π |
2 |
π |
3 |
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已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
|
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