Question

（本题满分14分）已知函数(为实常数).

(Ⅰ) 若,求证:函数在上是增函数;

(Ⅱ) 求函数在上的最小值及相应的值；

(Ⅲ) 若存在，使得成立,求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)  略  (Ⅱ)  略（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）当时，，当，，

故函数在上是增函数．  …3分

(Ⅱ)，当，.    ……………4分

若，在上非负（仅当，时，），故函数在

上是增函数，此时．……5分

若，当时，；当时，，此时是减函数； 当时，，此时是增函数．

故   ……7分

若，在上非正（仅当，时，），

故函数在上是减函数，此时．…8分

综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；

当时,的最小值为,相应的x值为；

当时，的最小值为，相应的值为…9分

(Ⅲ)不等式， 可化为．

∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，

因而()…10分

令（），又  11分

当时，，，…12分

从而（仅当时取等号），所以在上为增函数13分

故的最小值为，所以实数的取值范围是…14分