Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_n+1=2a_n+（2n-1）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，得到数列{a_n+1-a_n+2}是以5为首项，以2为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式后结合a_n+1=2a_n+（2n-1）（n∈N^*）求数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1=2a_n+2n-1，得
a_n+2=2a_n+1+2（n+1）-1，
两式作差得：a_n+2-a_n+1=2a_n+1-2a_n+2，
则$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+2}$=2，
又a₁=2，∴a₂=5，
a₂-a₁+2=5．
∴数列{a_n+1-a_n+2}是以5为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n+1}-{a}_{n}+2=5•{2}^{n-1}$，
即2a_n+（2n-1）-a_n+2=5•2^n-1．
∴${a}_{n}=5•{2}^{n-1}-2n-1$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．