Question

设点F₁是椭圆的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求△F₁AB的面积的最大值．

Answer 1

解：如图，
设A(x₁,y₁)，B（x₂,y₂），
(∵c=1)．
设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程，得（2m²+3）y²+4my-4=0．
，

从而
令

∵，当且仅当时，等号成立，
又∵t≥1，
∴的最小值取不到
考察f(t)=2t+在[1，+∞）上的单调性，利用单调性定义可以证明f(t)=2t+在[1，+∞）上单调递增，因此f(t）=的最小值为f(1)=3．
从而的最大值为，
此时t=1，即m=0．
∴△F₁AB的面积的最大值为，此时直线AB的方程为x=1.