Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足

D1P

=λ

PA

(λ＞0)．
（Ⅰ）当λ=1时，求证：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值．

Answer 1

分析：（I）欲证平面ABC₁D₁⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面PDB内一直线与平面ABC₁D₁垂直，根据面面垂直的性质定理可知DP⊥平面ABC₁D₁；
（II）根据AD₁∥BC₁，P为线段AD₁上的点，得到三角形PBC₁的面积为定值，再根据CD∥平面ABC₁D₁，得到点D到平面PBC₁的距离为定值，从而得到三棱锥D-BPC₁的体积为定值，在利用体积公式求出三棱锥D-PBC₁的体积即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥面AA₁D₁D，
又AB?ABC₁D₁∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，
∵λ=1时，P为AD₁的中点，∴DP⊥AD₁，
又∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，
∴DP⊥平面ABC₁D₁，
又DP?平面PDB，∴平面ABC₁D₁⊥平面PDB．

（Ⅱ）∵AD₁∥BC₁，P为线段AD₁上的点，
∴三角形PBC₁的面积为定值，
即S△PBC1=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
又∵CD∥平面ABC₁D₁，
∴点D到平面PBC₁的距离为定值，即h=

2

2

，
∴三棱锥D-BPC₁的体积为定值，
即VD-PBC1=

1

3

•S△PBC1•h=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．
也即无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值

1

6

．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及棱锥的体积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．