Question

某商店在近30天内每件的销售价格p元与时间t天的函数关系式是：p=

t+20(0＜t＜25，t∈N*) -t+60(25≤t≤30，t∈N*)

，该商品的日销售量Q件与时间t天的函数关系式是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*），那么这种商品在第几天日销售金额的最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式，根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答．

解答：解：由题意可知：日销售金额y=

(t+20)(-t+40)  ，(0＜t＜25，t∈N*) (-t+60)(-t+40)  ，(25≤t≤30，t∈N*)

．
即y=

-t2+20t+800 ，(0＜t＜25，t∈N*) t2-100t+2400  ，(25≤t≤30，t∈N*)

（2）当0＜t＜25，t∈N₊时，y=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900．
∴t=10（天）时，y_max=900（元），
当25≤t≤30，t∈N₊时，y=（-t+60）（-t+40）=t²-100t+2400=（t-50）²-100，
而y=（t-50）²-100，在t∈[25，30]时，函数递减．
∴t=25（天）时，y_max=525（元）．
∵525＜900，∴y_max=900（元）．
故所求日销售金额的最大值为900元，且在最近30天中的第10天日销售额最大．

点评：本题考查的是分段函数应用类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数球最值得方法以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．