Question

15．在△ABC中，BC=2，∠A=45°，∠B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围是（-2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 首先建立恰当的直角坐标系，根据直角坐标系确定各点的坐标，进一步利用向量的数量积转化成利用定义域求三角函数的值域．最后求的结果

解答 解：如图所示：|BC|=2，∠BOC=90°，∠CAB=45°，
由于∠B为锐角，则：点A只能在左半圆上，
故设∠AOB=θ：A（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）（$\frac{π}{2}$$＜θ＜\frac{3π}{2}$）
B（$\sqrt{2}$，0），C（0，$\sqrt{2}$）
所以：$\overrightarrow{OA}$=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），$\overrightarrow{BC}$=（$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=-2cosθ+2sinθ=2$\sqrt{2}$sin（$θ-\frac{π}{4}$），因为$\frac{π}{2}$$＜θ＜\frac{3π}{2}$，
所以$\frac{π}{4}＜θ-\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$
则：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（$θ-\frac{π}{4}$）≤1，
所以-2＜2$\sqrt{2}$sin（$θ-\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
故答案为：（-2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查的知识要点：向量的数量积，三角函数的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求值域．