Question

某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与报纸广告费用x₁（万元）及电视广告费用x₂（万元）之间的关系有如下经验公式：R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28，
（1）若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略；
（即收益最大的策略，其中收益=销售收入-广告费用）
（2）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略。

Answer 1

解：（1）依题意x₁+x₂=5，
∴x₂=5-x₁，
∴R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28
=-2x₁²-（5-x₁）²+13x₁+11（5-x₁）-28
=-3x₁²+12x₁+2（0≤x₁≤5），
∴收益y=R-5=-3x₁²+12x₁-3 =-3（x₁-2）²+9≤9，
当且仅当x₁=2时取等号，
∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元。
（2）收益y=R-（x₁+x₂）
=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28-（x₁+x₂）
=-2（x₁-3）²-（x₂-5）²+15≤15，
当且仅当x₁=3，x₂=5时取等号；
∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元。