(07年四川卷文)(12分)如图,平面平面
,
,
,直线
与直线
所成的角为60°,又
,
,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求多面体的体积.
解析:本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识,考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力.
(Ⅰ)∵平面平面
,
,
平面
.
∴平面
又∵平面
∴
(Ⅱ)取的中点
,则
.连接
、
.
∵平面平面
,平面
平面
,
.
∴平面
.
∵,∴
,从而
平面
.
作于
,连结
,则由三垂线定理知
.
从而为二面角
的平面角.
∵直线与直线
所成的角为60°,
∴ .
在中,由勾股定理得
.
在中,
.
在中,
.
在中,
故二面角的大小为
(Ⅱ)如图以为原点建立空间直角坐标系
.
设,
有,
,
.
,
由直线与直线
所成的角为60°,得
即,解得
.
∴,
设平面的一个法向量为
,则
由,取
,得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角,
故二面角的大小为
.
(Ⅲ)多面体就是四棱锥
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