Question

已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为

4+π2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，4π]内的所有零点之和．

Answer 1

（1）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）为偶函数，∴cosφ=±1，∴φ=kπ，k∈z．
再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函数f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期为

2π

ω

，最大值为1．
设图象上最高点为（x₁，1），与之相邻的最低点为（x₂，-1），则|x₂-x₁|=

T

2

=

π

ω

．
∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为

4+π2

=

( π ω )2+22

，解得ω=1，
∴函数f（x）=-cosx．
（2）函数f（x）在[0，4π]内的所有零点为：

π

2

，

3π

2

，2π+

π

2

，2π+

3π

2

，
∴函数f（x）在[0，4π]内的所有零点之和为

π

2

+

3π

2

+(2π+

π

2

)+(2π+

3π

2

)=8π．