Question

已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若,.

 

(1)求点P的轨迹方程；

(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) y²=x  (2) 存在定直线x=

【解析】

试题分析：（1）设B(0，t)，Q（m，0），P（x，y），由射影定理并整理可得m=-4t，然后再利用已知条件和向量相等的坐标表示的充要条件列出关于x，y的方程即可得到点P的轨迹方程.

（2）假设存在.根据已知几何条件和勾股定理列出相交弦的表达式，再寻找a存在的条件即可.

试题解析：(1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t²=|m|，m0， m=-4t²，

 Q(-4t²，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，=(-4t²-，0)，

2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，

 x=4t²，y=2 t， y²=x，此即点P的轨迹方程；       6分。

(2)由(1)，点P的轨迹方程是y²=x；设P(y²，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

L=2

 =2=2      10分

若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=

 存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。

 (2)存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。

考点：1.射影定理；2.向量相等的坐标表示的充要条件；3.勾股定理.