Question

在直线L：x-y+9=0上任取一点p以椭圆

x2

12

+

y2

3

=1的焦点为焦点作椭圆．
（1）p在何处时，所求椭圆的长轴最短；
（2）求长轴最短的椭圆方程．

Answer 1

分析：先求出椭圆的焦点，根据椭圆的定义可知要使长轴长最短，实际上就是在直线x-y+9=0上找一点M，到F₁，F₂的距离之和最小．设F₁关于x-y+9=0的对称点是A（t，s），则根据点关于直线对称点的求法求得A点坐标，进而求得A点在（-5，4）处时，长轴最短，进而求得b，则此时椭圆的方程可得．

解答：解：（1）可知焦点是F₁（-3，0），F₂（3，0）．由椭圆定义可知长轴长2a=|PF₁|+|PF₂|
要使长轴长最短，实际上就是在直线x-y+9=0上找一点M，到F₁，F₂的距离之和最小．
设F₁关于x-y+9=0的对称点是A（t，s），
则

t-3

2

-

s

2

+9=0，
又

s

t+3

=-1，
解得t=-9，s=6，即A（-9，6），

x-y+9=0 2y+x-3=0

，此时P（-5，4）．
（2）由（1）可知最短长轴长是|AF₂|=6

5

由a=3

5

，c=3得b=6
所以方程为

x2

45

+

y2

36

=1

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程问题．涉及了椭圆的定义，点关于直线的对称问题等，综合性很强．