Question

|AB|=|x_A-x_B|表示数轴上A，B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算．这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p（x，y）叫做x，y之间的距离：条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
试确定运算是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例．

Answer 1

【答案】分析：要说明s（x，y）是否为距离，只要验证它是否满足三条即可．即满足条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
解答：解：①等号成立当且仅当|x-y|=0，即x=y，第一条满足
②s（x，y）===s（y，x），第二条也满足
③s（x，z）=
∵函数f（x）==1-（或）在（0，+∞）上单调增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|
∴s（x，z）≤=+
≤+=s（x，y）+s（y，z），第三条也满足．
总之，s（x，y）是距离．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、综合法与分析法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．