Question

2．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=$\sqrt{2}$，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2
（1）在平面ABCD内找一点F，使得D₁F⊥平面AB₁C；
（2）求二面角C-B₁A-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当F为AC中点时，D₁F⊥平面AB₁C；
（2）求出面B₁AC的一个法向量和面B₁AB的法向量，利用向量法能求出二面角C-B₁A-B的平面角的余弦值．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D₁（0，1，1），B₁（1，-1，1），
设F（a，b，0），则$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（a，b-1，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，-1，1），
∵D₁F⊥平面AB₁C，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{AC}=a+b-1=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=a-b=0}\end{array}\right.$，得a=b=$\frac{1}{2}$，
∴F（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），即F为AC的中点，
∴当F为AC中点时，D₁F⊥平面AB₁C；
（2）由（1）得面B₁AC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，-1$），
设平面B₁AB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=x-y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{3}{2}}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由图形得二面角C-B₁A-B的平面角为锐角，
∴二面角C-B₁A-B的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查空间直角坐标系的建立，空间向量的应用，空间线面垂直、二面角的求解与应用等，考查空间想象能力和识图能力，是中档题．