Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（I）求椭圆方程；
（II）求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设椭圆的标准方程，根据短轴长为、离心率为可求出a，b，c的值，从而得到答案．
（2）先设l与椭圆C交点为A、B的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，再表示出再将两根之和、两根之积代入可得，整理可得＞0解出m的范围．
解答：解：（I）设C：=1（a＞b＞0），设c＞0，c²=a²-b²，
由条件知2b=，，
∴a=1，b=c=
故C的方程为：
（II）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
得（k²+2）x²+2mx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*）
，
∵∴-x₁=3x₂
∴
得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0
m²=时，上式不成立；m²时，，
由（*）式得k²＞2m²-2
因k≠0∴＞0，
∴-1＜m＜-或＜m＜1
即所求m的取值范围为（-1，-）∪（，1）．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程、基本性质和直线与椭圆的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点题目，要强化学习．