Question

（本题满分15分）已知点（0，1），，直线、都是圆的切线（点不在轴上）.
（Ⅰ）求过点且焦点在轴上的抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点(1,0)作直线与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，问是否存在定点使为常数？若存在，求出点的坐标及常数；若不存在，请说明理由

Answer 1

（Ⅰ） ；(Ⅱ)，。

解析试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为：
由得，所以的方程为                     (4分)
由得点的坐标为.
可求得抛物线的标准方程为.                                     （6分）
（Ⅱ）设直线的方程为，
代入抛物线方程并整理得                                 (8分)     
设则
设，则



                               (12分)
当时上式是一个与无关的常数.
所以存在定点，相应的常数是.                       (15分)
考点：本题考查直线与抛物线的综合问题；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．
点评：本题主要考查了直线与抛物线的综合问题．研究直线与抛物线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与抛物线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合的思想．