Question

根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P（元）与时间t（天）的关系如图所示，日销售量Q（件）与时间t（天）之间的关系如表所示．

t/天	5	15	20	30
Q/件	35	25	20	10

（1）根据图象，写出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式；
（2）在所给的直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数解析式；
（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额=每件产品销售价格×日销售量）

Answer 1

分析：（1）根据图象，每件销售价格P与时间t的函数关系为分段函数；
（2）设它们所在直线l的解析式，代入计算，可得结论；
（3）利用日销售金额=每件产品销售价格×日销售量，确定分段函数，分段求出函数的最值，即可求得结论．

解答：解：（1）根据图象，每件销售价格P与时间t的函数关系为：
P=

t+30，0＜t≤20，t∈N+ 50，20＜t≤30，t∈N+

；┅┅┅（2分）
（2）描出实数对（t，Q）对应点，如图所示．
从图象发现：点（5，35），（15，25），（20，20），（30，10）
可能在同一直线上．设它们所在直线l的解析式为Q=kt+b（k、b为常数），
将点（5，35），（30，10）代入方程得

35=5k+b 10=30k+b

解得k=-1，b=40，所以Q=-t+40，
检验点（15，25），（20，20）也适合该式，因此日销售量Q与时间t的一个解析式为
Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N₊）；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）
（3）设日销售金额为y（元），则y=

(t+30)(-t+40)，0＜t≤20，t∈N+ 50(-t+40)，  20＜t≤30，t∈N+

=

-t2+10t+1200，0＜t≤20，t∈N+ -50t+2000，  20＜t≤30，t∈N+

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9分）
若0＜t≤20，t∈N₊，y=-t²+10t+1200=-（t-5）²+1225，
所以当t=5时，y_max=1225；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（11分）
若20＜t≤30，t∈N₊，y=-50t+2000是减函数，所以y＜-50×20+2000=1000．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（13分）
因此，这种产品在第5天的日销售金额最大，最大日销售金额是1225元．┅（14分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．