Question

【题目】已知函数f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，设g（x）=（x2﹣2x）ex ， 求证：对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）= x2﹣3x+2lnx，x＞0，

所以f′（x）=x﹣3+ = ，

令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，

当f′（x）＞0时，解得0＜x＜1或x＞2，

当f′（x）＜0时，解得1＜x＜2，

所以其单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）

（2）解：若要命题成立，只需当x∈（0，2]时，f（x）max＜g（x）max．由g′（x）=（x2﹣2）ex，

可知，当x∈（0，2]时，g（x）在区间（0， ）上单调递减，在区间（ ，2]上单调递增，

g（0）=g（2）=0，故g（x）max=0，

所以只需f（x）max＜0．

对函数f（x）来说，f′（x）=ax﹣（2a+1）+ = ．

①当 ≥2时，即 0＜a≤ ，函数f（x）在区间x∈（0，2]上单调递增，

所以，f（x）max=f（2）=﹣2a﹣2+2ln2＜0，

所以，a＞ln2﹣1 即0＜a≤ ，

②当0＜ ＜2时，即a＞ ，函数f（x）在区间（0， ）上单调递增，在区间（ ，2]上单调递减，

所以f（x）max=f（ ）=﹣2lna﹣ ﹣2．

当a≥1时，显然小于0，满足题意；

当 ＜a＜1时，可令h（a）=﹣2lna﹣ ﹣2，

所以h′（a）= ，

可知该函数在a∈（ ，1）时单调递减，h（a）＜h（ ）=2ln2﹣3＜0，满足题意，

所以a＞ 满足题意．

综上所述：当a＞0时，对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

方法二：f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx= ﹣（x﹣2lnx），

因为a＞0，x∈（0，2]，

所以 ＜0

令h（x）=x﹣2lnx，则h′（x）=1﹣ = ，

所以h（x）在（0，2]为单调递减，h（x）≥h（2）=2﹣2ln2＞0，

因此，在a＞0，x∈（0，2]时，f（x）＜0，

故当a＞0时，对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

【解析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间；（2）问题转化为f（x）max＜g（x）max ， 根据导数和函数最值的关系求出g（x）max=0，再对a进行分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．