Question

（本小题满10分）注意：第（3）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做。

对于函数，若存在x₀∈R，使成立，则称x₀为的不动点。

已知函数（a≠0）。

（1）当时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）（特保班做）　在（2）的条件下，若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且A、B两点关于点对称，求的的最小值。

Answer 1

解：（1）由题得：，因为为不动点，

因此有，即

所以或，即3和－1为的不动点。

（2）因为恒有两个不动点，

∴　，

即　（※）恒有两个不等实数根，

由题设恒成立，

即对于任意b∈R，有恒成立，

所以有　，　

　∴　　。

（3）由（※）式得，由题得E是A、B的中点，且

∴　，则E（），

∴　　－，　　∴　b=－，　

又由（2）知　0＜a＜1，　　令

∴　在上是单调递减，在上是单调递增

　∴　当时，　　

即　当时，　b取得最小值，其最小值为－。