Question

【题目】已知数列的前项和，数列满足.

（1）证明：是等比数列，并求；

（2）若数列中去掉与数列中相同的项后，余下的项按原顺序排列成数列，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据所给等式，先求得，再利用作差法可得，两边同时加1，可构造等比数列即可证明；利用等比数列通项公式求法，即可得.

（2）根据所给等式，先求得数列的通项公式，再找出数列与数列中重复的6项，可知的前50项即为数列的前56项和减去数列的前6项和.

（1）证明:由当时，代入可得,

解得，

因为，，

所以，

从而由，

所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列.

故.

（2）由题意，，

，，

所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

则，

又因为，，，，，，，

，，

所以

.