Question

（本小题满分12分）
若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为．
（1）设，求的取值范围；
（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程.

Answer 1

（1）；（2）。

(I)本小题根据二次函数零点分布规律可以得到一个关于a,b的不等式组，然后转化为线性规则的知识求解即可.
(2)首先明确过点的光线经轴反射后的光线必过点,再结合（1）中的可行域先观察可能满足条件的整点，逐个验证，最终找到符合条件的整点.进而确定所求直线的方程.
（1）方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组
，即，则在坐标平面内，点对应的区域如图阴影部分所示，

易得图中三点的坐标分别为，．．．．．．4分
（1）令，则直线经过点时
取得最小值，经过点时取得最大值，即，
又三点的值没有取到，所以；．．．．．．8分
（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知
可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即．．．．．．．11分