试题分析:(1)由已知M是PD的中点,利用P点在圆上,可以求出M的点轨迹方程为
;(2)点Q在(1)中的椭圆上,G是OQ上的分点,利用直线与椭圆的关系,可以找到λ与m和k的关系,并进一步将三角形AOB的面积表示成λ的函数关系式,再求出它的最大值.
试题解析:(1)设
,则点
,且
(1)
∵
∴
(2)
将(2)代入(1),得
∴轨迹Γ的方程为
; 5分
(2)①令
由
消去y
得
6分
∴
,即
(3)
∴
又由中点坐标公式,得
根据
,得
将其代入椭圆方程,有
化简得:
(4) 9分
②由(3)(4)得
∵
(5)
在△AOB中,
(6)
∴由(4)(5)(6)可得
12分
令
则
(当且仅当t=1时,即
时取“=”)
∴当
时,
取得最大值,其最大值为1. 13分