Question

12．已知函数f（x）=x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）满足f（1+a）+1+ln（$\sqrt{2}$+1）＜0，若实数a的取值范围是（-∞，b），则b=2．

Answer 1

分析 分析函数的单调性和奇偶性，可将f（1+a）+1+ln（$\sqrt{2}$+1）＜0，化为1＜-a-1，求出a的取值范围后，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（-x）+f（x）=-x³+ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，
即函数f（x）为定义在R上的奇函数，
又∵y=x³和y=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）均为增函数，故函数f（x）=x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）为增函数，
当x=1时，f（x）=x³+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=1+ln（$\sqrt{2}$+1），
若f（1+a）+1+ln（$\sqrt{2}$+1）＜0，
则1+ln（$\sqrt{2}$+1）＜-f（1+a）=f（-a-1），
故1＜-a-1，
则a＜-2，
又由满足条件的实数a的取值范围是（-∞，b），则b=2，
故答案为：2

点评 本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．