Question

（2012•河西区二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k²的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知2c=2

3

，

c

a

=

3

2

可求a，c结合b²=a²-c²=1即可求b，进而可求椭圆方程
（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为y=kx+1，联立直线y=kx+1与椭圆方程可求D的坐标，及k的取值范围，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1
，解方程可求

解答：解：（Ⅰ）由已知2c=2

3

，

c

a

=

3

2

．…（2分）
解得a=2，c=

3

，…（4分）
所以b²=a²-c²=1，
椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B点的直线为y=kx+1，
由

x2 4 +y2=1 y=kx+1

得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-

8k

1+4k2

，所以yD=

1-4k2

1+4k2

，…（8分）
依题意k≠0，k≠±

1

2

．
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
当y_D＞0时，y_D²-y_D+1=0，无解，…（11分）
当y_D＜0时，y_D²-y_D-1=0，解得yD=

1- 5

2

，…（12分）
所以

1-4k2

1+4k2

=

1- 5

2

，解得k2=

2+ 5

4

，
所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，k2=

2+ 5

4

．…（14分）

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，及等比数列的应用，属于综合性试题